\begin{exo}[Produit matriciel]
	% \hypertarget{exo:\value{paragraph}}{}%
	% \label{exo:1}%
	Calculer les produits $AB$ et $BA$, quand ils existent, dans les
	cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $A=\begin{pmatrix}
				1 & 2&  -1&  3
			\end{pmatrix}$,
			$B= \transpo{\begin{pmatrix}
				-1 & 0 & 2&  1
			\end{pmatrix}}$
		\item $A=
			\begin{pmatrix}   1 & 0 \\
				1 & -1
			\end{pmatrix}$, $B=
			\begin{pmatrix}
				-1 &  1 \\
				0  &  0 \\
				1  &  -2
			\end{pmatrix}$\\
		\item $A=
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & \ 1 & \ 0 & 0 & 0 \\
				1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
				0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 5 \\
				0 & 0 & 0 & 2 & -2 & -1 \\
				0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 4
			\end{pmatrix}$, $B=
			\begin{pmatrix}
				-1 & -1 & \ 0 & 0 \\
				2 & 1 & 0 & 0 \\
				3 & 5 & 0 & 0 \\
				0 & 0 & 2 & -4 \\
				0 & 0 & 5 & -2 \\
				0 & 0 & 1 & 1
			\end{pmatrix}$\\
			\begin{indication}
				Noter que $A$ et $B$ sont des matrices diagonales par bloc.
			\end{indication}
	\end{enumerate}

	%-----------
	%-----------
	\begin{correction}


		\begin{enumerate}
			\item $AB=0$, $BA=\begin{pmatrix}
					-1 & -2 &  1 & -3 \\
					0  &  0 &  0 &  0 \\
					2  &  4 & -2 &  6 \\
					1  &  2 & -1 &  3
				\end{pmatrix}$
			\item $AB$ n'existe pas, $BA=\begin{pmatrix}
					0 & -1 \\
					0 &  0 \\
					-1 &  2
				\end{pmatrix}$
			\item $AB=\begin{pmatrix}
					\ 6 & \ 6 &  0 &  0 \\
					1 & 0 &  0 &  0 \\
					0 & 0 &  2 &  3 \\
					0 & 0 & -7 & -5 \\
					0 & 0 & -9 &  6
				\end{pmatrix}$,
				$BA$ n'existe pas
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}[Représentation d'une application linéaire.]
	Donner la repr{\'e}sentation matricielle des applications
	lin{\'e}aires suivantes dans les bases canoniques des espaces en jeu.
	\begin{enumerate}
		\item $f:\begin{cases}
				\RR^3&\rightarrow \RR^3 \\
				(x,y,z)& \mapsto  (x+2y+3z,2y-z,x+z)
			\end{cases}.$
		\item la projection dans $\RR^2$
			sur la droite engendr{\'e}e par $e_1=(2,1)$ parall{\`e}lement {\`a} $e_2=(1,1)$.
		\item la sym{\'e}trie dans $\RR^2$ par rapport  {\`a} la droite engendr{\'e}e par $e_1$
			parall{\`e}lement {\`a} $e_2$			
                        (on rappelle que c'est l'application lin{\'e}aire qui envoie $e_1$ sur $e_1$
			et $e_2$ sur $-e_2$).
		\item $f:\begin{cases}
				\RR_2[X]&\rightarrow \RR_2[X] \\
				P & \mapsto  2(X+1)P-(X^2-1)P'
			\end{cases}.$
	\end{enumerate}

	%-----------
	%-----------
	\begin{correction}


		\begin{enumerate}
			\item $\begin{pmatrix}
					1 &  2 &  3 \\
					0 &  2 & -1  \\
					1 &  0 &  1
				\end{pmatrix}$
			\item $\begin{pmatrix}
					1 &  0 \\
					0 & -1
				\end{pmatrix}$
			\item $\begin{pmatrix}

					1 &  0 \\
					0 &  0
				\end{pmatrix}$
			\item $\begin{pmatrix}

					1 & 1  &  0 \\
					2 & 1  &  2 \\
					0 & 1  & 1
				\end{pmatrix}$
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	On consid{\`e}re l'espace $\RR^3$ muni de la base
	canonique $B$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_1=(2,-1,-2)$, $u_2=(1,0,-1)$ et $u_3=(-2,1,3)$ forment une
			base $B'$ de $\RR^3$.
		\item Soit $f:\begin{array}{ccc}
				\RR^3& \rightarrow& \RR^3
			\end{array} $ une application lin{\'e}aire dont la matrice
			dans la base canonique est
			$A=
			\begin{pmatrix}
				9 & -6 & 10 \\
				-5 &  2 & -5  \\
				-12 &  6 &-13
			\end{pmatrix}
			$. Calculer les matrices de passage d'une base {\`a} l'autre.
		\item Calculer la matrice de $f$ dans la base
			$B'$.
	\end{enumerate}
	%-----------
	%-----------
	\begin{correction}


		\begin{enumerate}
			\item $u_1=(2,-1,-2)$, $u_2=(1,0,-1)$ et $u_3=(-2,1,3)$ ind\'ep.
			\item $P=\left(
				\begin{array}{rrr}
					2 &  1 & -2 \\
					-1 &  0 &  1  \\
					-2 & -1 &  3
				\end{array}
				\right)$, $Q=P^{-1}=\left(
				\begin{array}{rrr}
					1 & -1 &  1 \\
					1 &  2 &  0  \\
					1 &  0 &  1
				\end{array}
				\right)$.
			\item $A'=P^{-1}AP=\left(
				\begin{array}{rrr}
					2 &  0 &  0 \\
					0 & -1 &  0  \\
					0 &  0 & -3
				\end{array}
				\right)$.
		\end{enumerate}
	\end{correction}

\end{exo}
%=============

